En publicaciones anteriores demostramos que dos grupos son del mismo tamaño si existe una coincidencia uno a uno entre los elementos de ambos grupos. La aplicación de este principio al teorema del infinito de Cantor lleva a la extraña pero válida conclusión de que el número de puntos en un segmento de línea es el mismo que el número de puntos en un cuadrado. Para mostrar que esto es cierto, aquí hay una imagen de un segmento de longitud unitaria y un cuadrado unitario.
Elijamos un punto en el segmento de recta. Supongamos 0.6917381276543…. Se muestra con un gran punto azul en el segmento recto de la izquierda. Si este punto corresponde a numero irracional, Continúa para siempre sin repetirse o mostrar un patrón reconocible.
Vamos a dividir este número en dos números. El primer número es cualquier otro número. Debajo del segmento de línea se muestra en rojo este número, que es precisamente 0.6131753…. Los números restantes forman el segundo número, que se muestra en verde. Es 0.978264….
Así, un número entre cero y uno se puede dividir en dos números entre cero y uno. Podemos tomar estos dos números como las coordenadas x e y en el cuadrado unitario que se muestra a la derecha. Marcan el punto azul que se muestra en el cuadro de la derecha. Entonces, el punto azul en el segmento de línea se acerca al punto azul en el cuadrado.
Por cada punto en el segmento de línea, solo hay un punto azul en el cuadrado. El tamaño de los grupos infinitos en un segmento recto y en un cuadrado es exactamente el mismo. Una extensión de este argumento muestra que el número de puntos en un cubo es el mismo que el número de puntos en un segmento de línea. Esto es extraño e inesperado.
También es posible invertir el mapeo de sección cuadrada a recta. Toma las dos coordenadas que definen el punto azul en el cuadrado y mézclalas para obtener un solo número. Dos números entre cero y uno siempre se pueden combinar para obtener un número entre uno y cero. Este nuevo número es el punto en el segmento de línea.
Dado que hay un mapeo uno a uno de cada punto en el segmento recto para cada punto en el cuadrado, el número de puntos en un segmento recto es el mismo que el número de puntos en el cuadrado.
¿Pero no puedes dibujar una línea recta y un cuadrado en una hoja de papel y hacer el mapeo? ¿No es esto una ilustración del infinito en la realidad? No, se supone que cada punto debe medirse con una precisión ilimitada. En realidad, la precisión siempre es limitada. Así que la conclusión de que no hay finales, de hecho, se mantiene firme.
Este resultado contra-intuitivo, liderado por la teoría del infinito extraño de Cantor. Sin embargo, es una propiedad infinitamente válida.
el proximo: Mostraremos que toda la Biblioteca del Congreso está codificada digitalmente en casi todos los números elegidos al azar.
Aquí está la Parte 1: ¿Por qué infinito? en realidad no existe. Algunos ejemplos mostrarán los resultados absurdos que se obtienen al suponer que hay infinito en el mundo que nos rodea como en las matemáticas. En una serie de cinco publicaciones, explico la diferencia entre lo que significa infinito, y lo que no significa, como concepto.
Y el
Parte 2. Infinity explica que el universo tiene un comienzo. Las consecuencias lógicas de un pasado literalmente infinito son absurdas, como lo demostrará una simple ilustración. El absurdo que crearía un pasado infinito, aunque no es una prueba matemática definitiva, es una fuerte evidencia de que nuestro universo tuvo un comienzo.
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